Elementy logiki

WPROWADZENIE

Zdaniami w sensie logicznym nazywamy te spośród zdań oznajmujących, którym można przypisać jedna z dwóch wartości logicznych: prawdę (1)lub fałsz(0).

Mając dwa dowolne zdania możemy z nich utworzyc zdanie złożone poprzez ich połączenie jednym ze spójników: lub; i; jesli..., to; wtedy i tylko wtedy, gdy.

Alternatywa -dwa zdania połaczone spójnikiem lub.Alternatywa jest fałszywa tylko w jednym przypadku:gdy obydwa zdania są fałszywe

Koniunkcja -dwa zdania połączone spójnikiem i.Koniunkcja jest prawdziwa tylko w jednym przypadku: gdy obydwa zdania są prawdziwe.

Implikacja - dwa zdania połączone spójnikiem jesli ...., to.Implikacja jest fałszywa tylko w jednym przypadku: gdy pierwsze zdanie jest

 prawdziwe a drugie fałszywe.

Równoważność - dwa zdania połaczone spójnikiem wtedy i tylko wtedy, gdy.Równoważność jest prawdziwa gdy obydwa zdania sa prawdziwe i obydwa fałszywe.

Kolejnym ważnym zagadnieniem w logice są prawa de Morgana, które mówią o zaprzeczeniu koniunkcji dwóch zdań równej alternatywie zaprzeczeń tych zdań, i odwrotnie, co przedstawia się wzorami:

~(p/\q)<=>~p\/~q

~(p\/q)<=>~p/\~q

Kwantyfikatory to zwroty:

dla każdego ^

istnieje takie x, dla którego V

PRZYKŁADY

Zadanie 1.

Oceń wartość logiczną zdań:

a) 1<4 i 6<5

odp. jest to koniunkcja dwóch zdań: pierwsze jest prawdziwe, a drugie fałszywe, stąd koniunkcja bedzie fałszywa

b) 8<9 lub 4<1

odp. jest to alternatywa dwóch zdań: pierwsze jest prawdziwe a drugie fałszywe, stąd alternatywa jest prawdziwa

c) jeśli 4+5=10, to 2+2=6

odp. jest to implikacja dwóch zdań: obydwa sa fałszywe, stad implikacja jest prawdziwa

d) liczba dzieli sie przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr jest podzielna przez 3, stąd równoważność jest prawdziwa.

Zadanie 2.

Dopisz brakującą część zdania:

a) x(- AuB<=>...

odp. x(- A v x(-B

b) x(/- A\B<=>...

odp. x(/- A v x(-B

c)AcB<=>...

odp: ^ [x(-A=>x(- B

       x

Zadanie 3.

Oceń wartość logiczną zdań:

a) ^     [n\0]

   (n(-N+) 

odp: prawda

b) v  [0\n]

n(-N+

odp: fałsz