Równania i nierówności
WPROWADZENIE
Metody rozwiązywania równań i nierówności.
1. Metoda równań (nierówności) równoważnych
-wyznaczamy dziedzinę równania(nierówności)
-dodajemy do obu stron równania(nierówności) tę samą liczbę
-mnożymy obie strony równania(nierówności) przez tę samą funkcję
- przekształcamy do najprostszej postaci redukując wyrazy podobne.
2. Metoda analizy starożytnych
- zakładamy , że równanie(nierówność) ma rozwiązanie i jest nim liczba a f(a)=g(a)
PRZYKŁADY
Zadanie1
Rozwiąż równanie (x+3)/(x-2)+1=(x+8)/(x-2) metodą równań równoważnych.
odp. Dziedzina równania to R/{2}
obie strony równania mnożymy przez (x-2) i otrzymujemy:
(x+3)+(x-2)=(x+8)
Redukujemy wyrazy podobne
x=7 należy do dziedziny wiec jest rozwiązaniem równania.
Popatrzmy jak przebiega rozwiązanie nierówności:
(x+3)/(x-2)+1<(x+8)/(x-2)
[(x+3)+x-2]/(x-2)-[(x+8)/(x-2)]<0
(2x+1-x-8)*(x-2)<0
(x-7)*(x-2)<0
W przypadku neiróności rozwiązaniem będzie x(- (2,7)
Zadanie 2
Rozwiąz równanie (2x+5)1/2-x=1 metoda analizy starożytnych
(2a+5)1/2 - a=1
(2a+5)1/2=1+a/2
2a+5=(1+a)2
2a+5=1+2a+a2
a=2 lub a=-2
Sprawdzamy czy 2 i -2 sa rzeczywiście rozwiązaniami równania podstawiając do wyjsciowego wzoru
(2*2)1/2-2=1 lub [2*(-2)]1/2+2=1
3-2=1 lub 1+2=/1
Zatem 2 jest rozwiązaniem równania.